正三棱柱的所有棱長都為4,D為的中點.

(1)求證:⊥平面；
(2)求二面角余弦值.

(1)詳見解析；（2）.

解析試題分析：(1)先根據(jù)題意找到BC中點O，證明，平面，從而以O為原點構造出空間直角坐標系.在寫出平面中相關向量坐標以及的坐標，由向量的數(shù)量積為0證明線線垂直，從而得到⊥平面；（2）先求出平面的法向量，又由上問可知平面的法向量即，再通過向量的夾角公式得到這兩個法向量的夾角余弦值，經(jīng)觀察可知即為二面角余弦值.從而得到本題的解.
試題解析：（1）取BC中點O,連AO,
∵為正三角形, ∴,
∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,
取中點為,以O為原點,,,的方向為,軸的正方向,建立空間直角坐標系,

則.
∴,
∵,.
∴,,∴面   
(2)設平面的法向量為,.
,∴,∴,,令,得為平面的一個法向量,由(1)知面,
∴為平面的法向量,,
經(jīng)檢驗易知二面角的余弦值為.
考點：1.向量數(shù)量積表示垂直；2.平面的法向量；3.二面角.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖(1)，四邊形ABCD中，E是BC的中點，DB＝2，DC＝1，BC＝，AB＝AD＝.將圖(1)沿直線BD折起，使得二面角A­BD­C為60°，如圖(2)．

(1)求證：AE⊥平面BDC；
(2)求直線AC與平面ABD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

平行四邊形中，且以為折線，把折起，使平面平面，連接

（1）求證：；
（2）求二面角 的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面為正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，請建立空間直角坐標系解決下列問題．

（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，平面平面，是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，∥ＡＥ，，,分別為的中點．

（1）求異面直線與所成角的大��；
（2）求直線和平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在如圖所示的空間直角坐標系O－xyz中，原點O是BC的中點，A點坐標為，D點在平面yoz上，BC=2，∠BDC=90°，∠DCB=30°.

（Ⅰ）求D點坐標；
（Ⅱ）求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直四棱柱中，底面為平行四邊形，且，，，為的中點.

（1） 證明：∥平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，其中，底面，是的中點．
（1）試用表示，并判斷直線與平面的位置關系；
（2）若平面，求異面直線與所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題12分）如圖：四棱錐P—ABCD中，底面ABCD

是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.
（1）證明：無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF;
（2）當BE等于何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°. 

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