Question

正三棱錐S-ABC中，AB=BC=CA，SA=1，∠ASB=30°，過點(diǎn)A作一截面與側(cè)棱SB，SC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則截面△AEF周長的最小值為

 

．

Answer 1

分析：將三棱錐的側(cè)面沿SA、AB、AC剪開，得到如圖所示的五邊形SABCA'，在此五邊形中連結(jié)AA'交SB、SC于E、F，可得截面△AEF周長的最小值為線段AA'的長，根據(jù)題中數(shù)據(jù)利用正三棱錐的性質(zhì)加以計(jì)算，可得答案．

解答：解：將三棱錐S-ABC的側(cè)面沿SA、AB、AC剪開，得到如圖所示的五邊形SABCA'．
連結(jié)AA'，分別交SB、SC于E、F，
再將展開圖圍成三棱錐S-ABC的側(cè)面得到△AEF，即為周長最小的截面三角形，
由此可得截面△AEF周長的最小值等于線段AA'長．

∵正三棱錐S-ABC中，∠ASB=30°，∴∠ASA'=3×30°=90°．
又∵SA=1，∴等腰Rt△ASA'中，AA'=

2

SA=

2

．
即截面△AEF周長的最小值為

2

．
故答案為：

2

點(diǎn)評：本題已知正三棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角，在側(cè)棱長為1的條件下求截面三角形的周長最小值，著重考查了正三棱錐的性質(zhì)、勾股定理和多面體的側(cè)面展開圖等知識，屬于中檔題．