Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2，g(x)=

1

2

x2-ax+

a2

2

．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（3，f（3））處的切線方程；
（2）當(dāng)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為-

1

3

時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=

1

3

x3-x2，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)與切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)利用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可；
（2）當(dāng)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為-

1

3

時(shí)，求出其導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)a的值進(jìn)行討論確定出最值的大小，利用最小值為-

1

3

時(shí)建立方程求a．
（3）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則f（x）-g（x）=0有三個(gè)根，利用導(dǎo)數(shù)研究相關(guān)函數(shù)的極值，由圖象確定出參數(shù)的范圍即可．

解答：（1）a=2時(shí)，f(x)=

1

3

x3-x2，f′（x）=x²-2x，
∴f（3）=0，f′（3）=3²-2×3=3
故切點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)是3
故曲線y=f（x）在點(diǎn)P（3，f（3））處的切線方程是y=3（x-3），即3x-y-9=0
（2）f′（x）=x²-ax=x（x-a）
當(dāng)a＜0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0可得x＞0或x＜a，故函數(shù)在[0，1]上是增函數(shù)，故最小值在x=0處取到
驗(yàn)證知不合題意
當(dāng)a＞1時(shí)，可解得函數(shù)在[0，1]上是減函數(shù)故最小值在x=1處取到，即

1

3

-

a

2

=-

1

3

，a=

4

3

符合要求
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，驗(yàn)證知，無解
故符合條件的值為a=

4

3

（3）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則f（x）-g（x）=0有三個(gè)根，
令F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-

a

2

x2-

1

2

x2+ax-

a2

2

F′（x）=x²-ax-x+a=（x-1）（x-a）
F（x）=f（x）-g（x）=0有三個(gè)根，故a≠1且有F（1）F（a）＜0
故有(

1

3

-

a

2

-

1

2

+a-

a2

2

)(-

1

6

a3)＜0即a³（3a²-3a+1）＜0，
由于3a²-3a+1＞0恒成立，故a＜0
函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜0

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)某點(diǎn)處的切線的方程以及函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)的問題求參數(shù)，本題的求解關(guān)鍵是對求導(dǎo)公式的熟練掌握以及對函數(shù)最值的判斷方法，兩函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)求參數(shù)時(shí)問題的轉(zhuǎn)化方向．