Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中直線A₁C₁與平面A₁BD夾角的余弦值是（　�。�

• A、

  2

  4

• B、

  2

  3

• C、

  3

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：利用割補法易得：V_C1-A1BD，再結合三棱錐的體積法，求得點C₁到平面A₁BD的距離，求出直線A₁C₁與平面A₁BD夾角的正弦值，即可求出直線A₁C₁與平面A₁BD夾角的余弦值．

解答：解：設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為a，構造三棱錐C₁-A₁DB，其體積為：
∵V=V_正方體-4V _A-A1BD=a³-4×

1

6

a³=

1

3

a³，
設點C₁到平面A₁BD的距離是h，
又三棱錐C₁-A₁DB的體積=

1

3

×S_A1BD×h，
∴

1

3

a³=

1

3

×S_A1BD×h，
∴h=

2 3 a

3

，
設直線A₁C₁與平面A₁BD夾角為α，則sinα=

2 3 a 3

2 a

=

6

3

，
∴cosα=

1-( 6 3 )2

=

3

3

，
即直線A₁C₁與平面A₁BD夾角的余弦值是

3

3

．
故選C．

點評：本小題主要考查空間線面關系、點、線、面間的距離計算、幾何體的體積等知識，考查空間角，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．