Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n-S_n-1=+（n≥2），a₁=1．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：．

Answer 1

解：（1）∵，（n≥2）
又b_n≥o，，∴，
又，所以數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列．
，s_n=n²．
當(dāng)n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；a₁=1適合上式，∴a_n=2n-1（n∈N）．
（2）=，
T_n=b₁+b₂++b_n
；
=
=
∵n∈N，∴，，，即．
分析：（1）利用平方差公式對(duì)題設(shè)中的等式化簡(jiǎn)整理求得，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列．進(jìn)而根據(jù)首項(xiàng)和公差求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得a_n．
（2）把（1）中的a_n代入b_n，進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)法求得前n項(xiàng)的和，求得T_n=，進(jìn)而利用推斷出，原式得證．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差關(guān)系的確定和數(shù)列的求和，數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用．作為高考的必考內(nèi)容，數(shù)列題常與不等式，函數(shù)等問(wèn)題綜合考查，綜合性較強(qiáng)．