Question

已知函數(shù)f（x）=xe^-x（x∈R）．
（1）求函數(shù)f）x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）已知函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，證明當(dāng)x＞1時，f（x）＞g（x）．

Answer 1

（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，f′（x）=（1-x）e^-x，令f′（x）=0，解得x=1
由f′（x）＞0，可得x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1
∴函數(shù)在（-∞，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)
∴函數(shù)在x=1時取得極大值f（1）=；
（2）證明：由題意，g（x）=f（2-x）=（2-x）e^x-2，
令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=xe^-x-（2-x）e^x-2，
∴F′（x）=（x-1）（e^2x-2-1）e^-x，
當(dāng)x＞1時，2x-2＞0，∴e^2x-2-1＞0，∵e^-x，＞0，∴F′（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)
∵F（1）=0，∴x＞1時，F(xiàn)（x）＞F（1）=0
∴當(dāng)x＞1時，f（x）＞g（x）．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求函數(shù)的極值；
（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），證明函數(shù)F（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．