Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．
（Ⅰ）證明：CD⊥AE；
（Ⅱ）證明：PD⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．

Answer 1

分析：（I）由題意利用線面PA⊥底面ABCD得線線PA⊥CD，進(jìn)而得線面CD⊥平面PAC，即可得證；
（II）由題意可得AE⊥PC，由（I）知，AE⊥CD，進(jìn)而得到AE⊥平面PCD，在由線線垂直得PD⊥平面ABE；
（III）因為AE⊥平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則EM⊥PD．因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角，然后再在三角形中求出即可．

解答：解：（I）證明：在四棱錐P-ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
而AE?平面PAC，
∴AE⊥CD．
（II）證明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
∵E是PC的中點，∴AE⊥PC．
由（I）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
又AB∩AE=A，綜上得PD⊥平面ABE．

（III）過點A作AM⊥PD，垂足為M，連接EM．
由（II）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則EM⊥PD．
因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角．
由已知，得∠CAD=30°．設(shè)AC=a，可得PA=a，AD=

2 3

3

a，PD=

21

3

a，AE=

2

2

a．
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM．PD=PA．AD．則AM=

PA．AD

PD

=

a. 2 3 3 a

21 3 a

=

2 7

7

a．
在Rt△AEM中，sinAME=

AE

AM

=

14

4

．
所以二面角A-PD-C的大小是acrsin

14

4

．

點評：此題重點考查了利用線面垂直得到線線垂直進(jìn)而在得線面垂直再得線線垂直，利用二面角平面角的定義及射影的實質(zhì)，得到二面角的平面角并在三角形中解出角的大小，還考查了反三角函數(shù)的知識．