已知數(shù)列滿足，.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）令，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，試比較Tn與的大小，并予以證明.

 

【答案】

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由于數(shù)列的遞推式的結(jié)構(gòu)為，在求數(shù)列的通項的時候可以利用累加法來求數(shù)列的通項公式；（2）先求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)其通項結(jié)構(gòu)選擇錯位相減法求出數(shù)列的前項和，在比較與的大小時，一般利用作差法，通過差的正負(fù)確定與的大小，在確定差的正負(fù)時，可以利用數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合二項式定理進(jìn)行放縮來達(dá)到證明不等式的目的.

試題解析：（1）當(dāng)時，

.

又也適合上式，所以.

（2）由（1）得，所以.

因為①，所以②.

由①－②得，，

所以.

因為，

所以確定與的大小關(guān)系等價于比較與的大小.

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

當(dāng)時，；當(dāng)時，；……，

可猜想當(dāng)時，.

證明如下：當(dāng)時，

.

綜上所述，當(dāng)或時，；當(dāng)時，.

考點：累加法、錯位相減法、二項式定理

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；
（2）求{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)F(x)=
3x-2
2x-1
，(x≠
1
2
)．
（I）求F(
1
2013
)+F(
2
2013
)+F(
3
2013
)+…+F(
2012
2013
)；
（II）已知數(shù)列滿足a1=2，an+1=F（an），求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ） 求證：a1a2a3…an＞
2n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•蕪湖三模）已知數(shù)列滿足a1+2a2+…+2n-1an=
n
2
（n∈N+）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項；
（Ⅱ）若bn=
n
an
，求數(shù)列{bn}的前n和Sn；
（Ⅲ）求證Sn≥n2+2n-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆度吉林省吉林市高二上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷 題型：選擇題

已知數(shù)列滿足，則此數(shù)列的通項等于

A．       B．        C．            D．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆河北省高二第一學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知數(shù)列滿足：．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；

（Ⅲ）設(shè)，不等式恒成立時，求實數(shù)的取值范圍.

 

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