Question

18．設(shè)f（x）=e^x-ax²，g（x）=kx+1（a∈R，k∈R），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若a=1時(shí)，直線y=g（x）與曲線y=f′（x）相切（f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），求k的值；
（2）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），若h（1）=0，且函數(shù)h（x）在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由切線的方程，解得k的值；
（2）利用等價(jià)轉(zhuǎn)換，若函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，則函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間，所以h′（x）在（0，1）上應(yīng)有兩個不同的零點(diǎn)．

解答 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=e^x-x²，f'（x）=e^x-2x…（1分）
設(shè)曲線y=f'（x）與直線y=g（x）的切點(diǎn)為（x₀，kx₀+1）
∵切點(diǎn)在曲線y=f'（x）上，∴$k{x_0}+1={e^{x_0}}-2{x_0}$…（2分）
又f''（x）=e^x-2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：${e^{x_0}}-2=k$…（3分）
由此解得x₀${e}^{{x}_{0}}$-${e}^{{x}_{0}}$+1=0                                 …（4分）
設(shè)t（x）=xe^x-e^x+1，則t′（x）=xe^x，
當(dāng)x＞0時(shí)，t′（x）=xe^x＞0，t（x）遞增；
當(dāng)x＜0時(shí)，t′（x）=xe^x＜0，t（x）遞減；
∴t（x）≥t（0）=0，
∴x₀=0                                                     …（5分）
∴k=-1．…（6分）
（2）h（x）=e^x-ax²-kx-1
由h（1）=0得：k=e-a-1
又h（0）=0，且函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間，
即h′（x）=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有兩個實(shí)根，…（7分）
h′（x）=e^x-2ax-k，h''（x）=e^x-2a
∵x∈（0，1），
∴e^x∈（1，e）
當(dāng)$a≤\frac{1}{2}$時(shí)，h''（x）=e^x-2a＞0，函數(shù)h'（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞增，
方程h'（x）=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)至多一個實(shí)根，不符合題意．
當(dāng)$a≥\frac{e}{2}$時(shí)，h''（x）=e^x-2a＜0，函數(shù)h'（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減，
方程h'（x）=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)至多一個實(shí)根，不符合題意．…（8分）
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$時(shí)，令h''（x）＜0得：0＜x＜ln（2a），令h''（x）＞0得：x＞ln（2a），
即函數(shù)h'（x）在區(qū)間（0，ln（2a））內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（ln（2a），+∞）內(nèi)單調(diào)遞增
∴h'（x）_min=h'（ln（2a））=2a-2aln（2a）-k=3a-2aln（2a）-e+1…（9分）
記H（x）=$\frac{3}{2}$x-xlnx-e+1其中1＜x＜e，則$H'（x）=\frac{1}{2}-lnx$，
令H'（x）＞0得：1＜x＜$\sqrt{e}$，令H'（x）＜0得：$\sqrt{e}$＜x＜e，
∴函數(shù)H（x）在（1，$\sqrt{e}$）內(nèi)單調(diào)遞增，在（$\sqrt{e}$，e）內(nèi)單調(diào)遞減         …（10分）
∴H（x）max=H（$\sqrt{e}$）=$\frac{3\sqrt{e}}{2}$-$\sqrt{e}$ln$\sqrt{e}$-e+1=$\sqrt{e}$+1-e
故H（x）＜0，也即h'（x）_min＜0
∵函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h′（0）=1-k＞0}\\{h′（1）=e-2a-k＞0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{2-e+a＞0}\\{-a+1＞0}\end{array}\right.$解得：e-2＜a＜1符合$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（e-2，1）…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分類討論思想，等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，函數(shù)的零點(diǎn)等知識點(diǎn)．是一道導(dǎo)數(shù)的綜合題，難度較大．