精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知F1（-1，0），F2（1，0）為橢圓C的左、右焦點，且點P（1，
2
3
3
）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F1的直線l交橢圓C于A，B兩點，問△F2AB的內切圓的面積是否存在最大值？若存在求其最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）設橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0），由|PF1|+|PF2|=2a，利用已知條件能求出a2=3，b2=2，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設直線l：y=k（x+1），由
x2
3
+
y2
2
=1
y=k(x+1)
，得（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0，利用韋達定理推導出S△ABF1＜
4
3
．當k不存在時圓面積最大，此時直線方程為x=-1．
解答： 解：（Ⅰ）由已知，可設橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0），
∵|PF1|+|PF2|=
(1+1)2+(
2
3
3
)2
+
(1-1)2+(
2
3
3
)2
=2
3
=2a，
∴a2=3，b2=2，
∴橢圓C的方程為
x2
3
+
y2
2
=1．…（4分）
（2）當直線l斜率存在時，設直線l：y=k（x+1），
由
x2
3
+
y2
2
=1
y=k(x+1)
，得（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1x2=
3k2-6
2+3k2
，x1+x2=
-6k2
2+3k2
．…（6分）
所以|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
3(k2+1)
2+3k2
，
設內切圓半徑為r，∵△ABF2的周長為4a=4
3
（定值），
S△ABF1=
1
2
×4a×r=2
3
r，
∴當△ABF2的面積最大時，內切圓面積最大，
又S∉ABF1=
1
2
|F1F2||y1-y2|=|y1-y2|
=|k||x1-x2|=
4
3k2(k2+1)
2+3k2
，…（8分）
令t=2+3k2≥2，則k2=
t-2
3
，
∴S△ABF1=
4
3k2(k2+1)
2+3k2
=4
(t-2)(t+1)
3t2

=
4
3
-
2
t2
-
1
t
+1
＜
4
3
．…（10分）
又當k不存在時，|y1-y2|=
4
3
，
此時r=
S
2
3
=
2
3
，S圓=
4
9
π，
∴當k不存在時圓面積最大，S圓=
4
9
π，
此時直線方程為x=-1．…（12分）
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形內切圓面積是否存在最大值的判斷，解題時要認真審題，注意韋達定理和分類討論思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知a=
∫
π
3
0
sinxdx，則(x+
1
ax
)6的展開式中的常數項是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知實數a，b滿足：-1＜a-b＜3且2＜a+b＜4，則2a-3b的取值范圍是（　　）
A、(-
13
2
 ，
17
2
)
B、(-
3
2
 ，
11
2
)
C、(-
9
2
 ，
13
2
)
D、(-
7
2
 ，
13
2
)

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

下列說法：①2013年考入清華大學的性格外向的學生能組成一個集合；②空集∅⊆{0}；③數集{2x，x2-x}中，實數x的取值范圍是{x|x≠0}．其中正確的個數是（　　）
A、3B、2C、1D、0

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知四邊形ABCD的4個頂點都在拋物線y=x2上，A、C點關于y軸對稱，BD平行于拋物線在點C處的切線．
（1）證明：AC平分∠BAD．
（2）若點A的坐標為（-1，1），S四邊形ABCD=4，求直線BD的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的右頂點為A（2，0），點P（2e，
1
2
）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足
OC
=λ
BA
，且
OC
•
OB
=0，求實數λ的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=tx-t-lnx（t＞0）．
（Ⅰ）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求實數t的取值范圍；
（Ⅱ）當n≥2且n∈N*時，證明：
1
ln2
+
1
ln3
…+
1
lnn
＞lnn．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點F（1，0），C1的中心和C2的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線l與拋物線C2分別相交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出拋物線C2的標準方程；
（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓過原點；
（Ⅲ）若坐標原點關于直線l的對稱點P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1相切，求橢圓C1的標準方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦距為3
2
，其中一條漸近線的方程為x-
2
y=0．以雙曲線C的實軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E，過原點O的動直線與橢圓E交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若點P為橢圓的左頂點，
PG
=2
GO
，求|
GA
|2+|
GB
|2的取值范圍；
（Ⅲ）若點P滿足|PA|=|PB|，求證
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OP|2
為定值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案