Question

設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，則log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在點(diǎn)（1，1）處的切線方程，得到切線在x軸上的截距，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)
log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂，把數(shù)列{x_n}累積后代入得答案．

解答： 解：由y=xⁿ⁺¹，得y′=（n+1）xⁿ，
∴y′|_x=1=n+1，
則曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y-1=（n+1）（x-1），
取y=0得：x=

n

n+1

．
則log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂
=log₂₀₁₃（x₁x₂…x₂₀₁₂）=log2013(

1

2

•

2

3

…

2012

2013

)=log2013

1

2013

=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是中檔題．