Question

某生產(chǎn)企業(yè)于年初用98萬元購(gòu)進(jìn)一套先進(jìn)的生產(chǎn)線，并投入營(yíng)運(yùn)，第一年固定投入12萬元，從第二年開始，包括維修保養(yǎng)在內(nèi)，每年投入均比上一年增加4萬元，該生產(chǎn)線投入運(yùn)營(yíng)后每年的收入為50萬元，設(shè)投入生產(chǎn)x（x∈N^*）年后，該生產(chǎn)線的盈利總額為y萬元．
（Ⅰ）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）該生產(chǎn)線幾年后取得利潤(rùn)額的最大值？并求出該最大值？
（Ⅲ）若該企業(yè)計(jì)劃在年平均利潤(rùn)取得最大值時(shí)淘汰該生產(chǎn)線，應(yīng)在幾年后淘汰？

Answer 1

分析：（I）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及純利潤(rùn)=收入-投入成本；
（II）利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（III）利用基本不等式即可得出．

解答：解：（I）由題意，每年的投入是以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，
∴y=50x-

x(12+4x+8)

2

-98
=-2x²+40x-98（x∈N^*），
（II）y=-2x²+40x-98=-2（x-10）²+102，
當(dāng)x=10時(shí)，y_max=102．
∴該生產(chǎn)線10年后取得利潤(rùn)的最大值102萬．
（Ⅲ）

y

x

=

-2x2+40x-98

x

=-2x-

98

x

+40=-2(x+

49

x

)+40≤-2×14+40=12，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

49

x

時(shí)，即x=7時(shí)等號(hào)成立，
所以按照計(jì)劃，該生產(chǎn)線應(yīng)該在7年后淘汰．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、純利潤(rùn)=收入-投入成本等是解題的關(guān)鍵．