Question

如圖，曲線C₁是以原點(diǎn)O為中心，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓的一部分．曲線C₂是以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A，B是曲線C₁和C₂的交點(diǎn)且∠AF₂F₁為鈍角，若|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

．
（1）求曲線C₁和C₂的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C，D是曲線C2所在拋物線上的兩點(diǎn)（如圖）．設(shè)直線OC的斜率為k₁，直線OD的斜率為k₂，且k₁+k₂=

2

，證明：直線CD過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)A（x_A，y_A），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），曲線C₁所在橢圓的長軸長為2a，則2a=|AF₁|+|AF₂|=6，由已知及圓錐曲線的定義能求出曲線C₁的方程和曲線C₂的方程．
（2）設(shè)直線OC的方程為y=k₁x，由

y=k1x y2=4x

，得（k₁x）²-4x=0，C（

4

k12

，

4

k1

），同理，得D（

4

( 2 -k1)2

，

4

2 -k1

），由此能證明直線CD過定點(diǎn)（0，2

2

）．

解答： （1）解：設(shè)A（x_A，y_A），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
曲線C₁所在橢圓的長軸長為2a，
則2a=|AF₁|+|AF₂|=6，
又由已知及圓錐曲線的定義得：
(xA-c)2+yA2=

25

4

，(xA+c)2+yA2=

49

4

，xA+c=

5

2

，
∴（x_A-c）²=

1

4

，
又∵∠AF₂F₁為鈍角，∴xA-c=

1

2

，
∴xA=

3

2

，c=1，
∴曲線C₁的方程為

x2

9

+

y2

8

=1，（-3≤x≤

3

2

）．
曲線C₂的方程為y2=4x(0≤x≤

3

2

)．
（2）設(shè)直線OC的方程為y=k₁x，
由

y=k1x y2=4x

，得（k₁x）²-4x=0，
∴C（

4

k12

，

4

k1

），同理，得D（

4

( 2 -k1)2

，

4

2 -k1

），
∴直線CD的方程為：
y-

4

k1

=

4 k1 - 4 2 -k1

4 k12 - 4 ( 2 -k1)2

(x-

4

k12

)=

k1( 2 -k1)

2

(x-

4

k12

)，
即y=

k1( 2 -k1)

2

x+2

2

，
當(dāng)x=0時(shí)，恒有y=2

2

，即直線CD過定點(diǎn)（0，2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．