Question

19．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）-f（x）=（1-2x）e^-x，且f（0）=0．
則下列命題正確的是①②③．（寫出所有正確命題的序號）
①R有極大值，沒有極小值；
②設曲線f（x）上存在不同兩點A，B處的切線斜率均為k，則k的取值范圍是-$\frac{1}{{e}^{2}}$＜k＜0；
③對任意x₁，x₂，∈（2，+∞）都有f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）≤$\frac{{f（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$恒成立．

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)f（x）滿足f′（x）-f（x）=（1-2x）e^-x，可得f（x）=xe^-x，f′（x）=（1-x）e^-x，然后逐一分析三個命題的真假得答案．

解答 解：①∵f′（x）-f（x）=（1-2x）e^-x，
∴f（x）=xe^-x，f′（x）=（1-x）e^-x，
令f′（x）＞0，解得x＜1，令f′（x）＜0，解得x＞1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴函數(shù)f（x）的極大值是f（1），沒有極小值，故①正確；
②∵k=f′（x）=（1-x）e^-x，
∴f″（x）=e^-x（x-2），
令f″（x）＞0，解得x＞2，令f″（x）＜0，解得x＜2，
∴f′（x）在（-∞，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴f′（x）_最小值=f′（x）_極小值=f′（2）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
而x→∞時，f′（x）→0，
∴k的取值范圍是-$\frac{1}{{e}^{2}}$＜k＜0，故②正確；
③結合①②函數(shù)f（x）在（2，+∞）上是凹函數(shù)，
∴f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）≤$\frac{{f（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$恒成立，故③正確．
∴正確的命題是①②③．
故答案為：①②③．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，難度較大．