Question

在二面角α-l-β中，A∈l，AC?α，BD?β，且AC⊥l，BD⊥l，已知AB=1，AC=BD=2，CD=

5

，則二面角α-l-β的余弦值為

1

2

或-

1

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，并作出二面角的平面角，再在三角形中，求出二面角α-l-β的余弦值．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形：在平面β內(nèi)，過A作AE∥BD，過點D作DE∥l，交AE于點E，連接CE．
∵BD⊥l，∴AE⊥l，∴ED⊥平面CAE．
又AC⊥l，∴∠CAE或其補角是二面角α-l-β的平面角．
由矩形ABDE得EA=2，ED=1．
在Rt△CED中，由勾股定理得CE=

CD2-ED2

=2．
∴△ACE是等邊三角形，∴∠CAE=60°，∴cos∠CAE=

1

2

．
∴二面角α-l-β的余弦值為

1

2

或-

1

2

故答案為：

1

2

或-

1

2

．

點評：本題考查面面角，解題的關(guān)鍵是由二面角的定義正確作出其平面角．