橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，3），離心率e=
4
5

（1）求橢圓方程；
（2）若直線?：y=kx-3與橢圓交于不同的兩點M，N，且滿足
MP
=
PN
，
AP
•
MN
=0，求直線?的方程．
分析：（1）由題意，a，b，c的關(guān)系有b=3，e=
c
a
 =
4
5
，a2=b2+c2，解得a=5，b=3．
（2）由題意得AP⊥MN，且P是線段MN的中點．設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0）聯(lián)立直線與橢圓的方程的（25k2+9）x2-150kx=0．可得P點的坐標(biāo)進而得直線AP的斜率為kAP=
-25k2-18
25k
，由MN⊥AP，得
-25k2-18
25k
•k=-1，可得k的值，進而求出 的方程．
解答：解：（1）依題意，有
b=3
e=
c
a
=
4
5
a2=b2+c2
，解得
a=5
b=3

∴橢圓方程為
x2
25
+
y2
9
=1．
（2）∵
MP
=
PN
，
AP
•
MN
=0，
∴AP⊥MN，且P是線段MN的中點，
由
y=kx-3
x2
25
+
y2
9
=1
消去y并整理得，（25k2+9）x2-150kx=0．
設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0）
則x1+x2=
150k
25k2+9
，∴x0=
x1+x2
2
=
75k
25k2+9

∴y0=kx0-3=
-27
25k2+9

即P(
75k
25k2+9
，
-27
25k2+9
)
∵k≠0，∴直線AP的斜率為kAP=
-27
25k2+9
-3
75k
25k2+9
=
-25k2-18
25k

由MN⊥AP，得
-25k2-18
25k
•k=-1，
解得k=±
7
5
（此時滿足判別式△＞0）
∴直線?的方程為y=±
7
5
x-3．
點評：求解橢圓方程的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓中的相關(guān)數(shù)值a，b，c之間的關(guān)系，求解直線方程的關(guān)鍵是靈活運用平面向量的有關(guān)知識，把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算問題，此知識點是高考考查的熱點之一．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF1的中點，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè) A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點，O為坐標(biāo)原點，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點坐標(biāo)為（a，0），求點B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點M在橢圓上；
（3）若點P、Q為橢圓 上的兩點，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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同步練習(xí)冊答案