Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2|x|-3．
（1）畫出函數(shù)f（x）的草圖，并寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論方程x²-2|x|-3=k的解的個(gè)數(shù)，并說明相應(yīng)的k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)寫出分段函數(shù)，即可畫出函數(shù)的圖象，由此可寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）考查函數(shù)y₁=x²-2|x|-3與y₂=k圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的圖象，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=x²-2|x|-3=

x2-2x-3，x≥0 x2+2x-3，x＜0

=

(x-1)2-4，x≥0 (x+1)2-4，x＜0

，圖象如圖
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1），（0，1）；
（2）考查函數(shù)y₁=x²-2|x|-3與y₂=k圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
根據(jù)圖象可得：k＞-3或k=-4時(shí)，方程x²-2|x|-3=k有兩個(gè)解；
k=-3時(shí)，方程x²-2|x|-3=k有三個(gè)解；
-4＜k＜-3時(shí)，方程x²-2|x|-3=k有四個(gè)解；
k＜-4時(shí)，方程x²-2|x|-3=k無解．

點(diǎn)評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，考查函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是將絕對值符號(hào)去掉，化為分段函數(shù)．