Question

（本題滿分14分）已知橢圓經過點，為坐標原點，平行于的直線在軸上的截距為.

 （1）當時，判斷直線與橢圓的位置關系（寫出結論，不需證明）；

（2）當時，為橢圓上的動點，求點到直線    距離的最小值；

 （3）如圖，當交橢圓于、兩個不同點時，求證：直線、與軸始終圍成一個等腰三角形.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）當時，直線與橢圓相離.   ……2分

（2）可知直線的斜率為 

設直線與直線平行，且直線與橢圓相切，

設直線的方程為             --------------------------------- 3分

聯立，得  --------------------------------- 4分

，解得   --------------------------------- 5分

直線的方程為.

 

所求點到直線的最小距離等于直線到直線的距離

.   ------------------------------ 7分

（3）由

若點與關于x軸對稱，則，

此時直線：.

由上題知，直線與橢圓相切，不合題意.

故設直線、的斜率分別為，，

只需證明+即可.

設，

，            -----------------------------9分

 

而 ----------- 10分  

 

            ----------- 12分

 

∴+

直線、與軸始終圍成一個等腰三角形  ---------------------------------------14分

【解析】略