Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（2a-1）x-alnx，g（x）=-

4

x

-alnx（a∈R）．
（1）a＜0時，求f（x）的極小值；
（2）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在x∈[1，3]上有兩個不同的交點M，N，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出其導函數(shù)以及導數(shù)為0的根，通過比較兩根的大小找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出f（x）的極小值；
（2）把問題轉(zhuǎn)化為x2+(2a-1)x+

4

x

=0在x∈[1，3]上有兩個不同的根；再結(jié)合根的分布即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）因為f′（x）=2x+（2a-1）-

a

x

=

(2x-1)(x+a)

x

．
當a＜-

1

2

時，在（0，

1

2

）以及（-a，+∞）上f′（x）＞0，
在（

1

2

，-a）上，f′（x）＜0
所以：f（x）在（0，

1

2

）上遞增；在（

1

2

，-a）上遞減，在（-a，+∞）上遞增，
所以f（x）_極小值=f（-a）=-a²+a-aln（-a）．
當a＞-

1

2

時，同理可得f（x）在（0，-a）上遞），在（-a，

1

2

）上遞減，在（

1

2

，+∞）遞增，
所以：f（x）_極小值=f（

1

2

）=a-

1

4

-aln2．
當a=-

1

2

時，f′（x）≥0恒成立，此時無極小值．
（2）函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在x∈[1，3]上有兩個不同的交點M，N，
即為f（x）=g（x）在x∈[1，3]上有兩個不同的根⇒x2+(2a-1)x+

4

x

=0在x∈[1，3]上有兩個不同的根．
令F（x）=x²+（2a-1）x+

4

x

，要使函數(shù)在x∈[1，3]上有兩個不同的根，
須滿足

F(1)≥0 F(2)＜0 F(3)≥0

⇒

1+(2a-1)+4≥0 4+2(2a-1)+2＜0 9+3(2a-1)≥0

⇒-

11

9

＜a＜-1．
故a的取值范圍是：-

11

9

＜a＜-1．

點評：本題第一問考查利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導函數(shù)，②求導函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負，原函數(shù)取極大值；若左負右正，原函數(shù)取極小值．