Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，，且（n=2，3，4，…）．
（1）求a₃、a₄的值；
（2）設(shè)（n∈N^*），試用b_n表示b_n+1并求{a_n}的通項公式；
（3）求證：對一切n∈N^*且n≥2，有．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁=1，，且（n=2，3，4，…），分別令n=2，3，能夠求出a₃，a₄．
（2）當(dāng)n≥2時，，利用累乘法能夠求出{a_n}的通項公式．
（3）當(dāng)k≥2時，有，利用裂項求和法能夠證明．
解答：解：（1）∵a₁=1，，且（n=2，3，4，…），
∴=，
=．
（2）當(dāng)n≥2時，，
累乘得．
整理得當(dāng)n≥2時，，即．
又n=1時也成立，故，n∈N^*．
（3）當(dāng)k≥2時，有，
所以．
點評：本題考查數(shù)列、不等式知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．