（14分）已知圓過點且與圓M:關于直線對稱

  (1)判斷圓與圓M的位置關系,并說明理由;

  (2)過點作兩條相異直線分別與圓相交于、

   ①若直線與直線互相垂直，求的最大值；

   ②若直線與直線與軸分別交于、，且,為坐標原點,試判斷直線與是否平行?請說明理由.

 

【答案】

(1) 圓M與圓C外切，理由略

(2) ①、被圓所截得弦長之和的最大值為4

②直線和一定平行，理由略。

【解析】解:(1)設圓心,則,解得

則圓的方程為,將點的坐標代入得,故圓的方程為

,又兩半徑之和為,圓M與圓C外切.

 

(2) ①設、被圓所截得弦的中點分別為，弦長分別為，因為四邊形是矩形，所以,即

，化簡得

從而，(時取等號,此時直線PA,PB必有一條斜率不存在)綜上:  、被圓所截得弦長之和的最大值為4

另解：若直線PA與PB中有一條直線的斜率不存在,

則PA=PB=2,此時PA+PB=4.

若直線PA與PB斜率都存在，且互為負倒數(shù)，故可設,即

，() 點C到PA的距離為，同理可得點C到PB的距離為，

<16,）

綜上：、被圓所截得弦長之和的最大值為4

②直線和平行,理由如下：

由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設,

,由,得

因為點的橫坐標一定是該方程的解,故可得

同理,,

所以=

所以,直線和一定平行.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C方程為x2+y2-8mx-（6m+2）y+6m+1=0（m∈R，m≠0），橢圓中心在原點，焦點在x軸上．
（1）證明圓C恒過一定點M，并求此定點M的坐標；
（2）判斷直線4x+3y-3=0與圓C的位置關系，并證明你的結論；
（3）當m=2時，圓C與橢圓的左準線相切，且橢圓過（1）中的點M，求此時橢圓方程；在x軸上是否存在兩定點A，B，使得對橢圓上任意一點Q（異于長軸端點），直線QA，QB的斜率之積為定值？若存在，求出A，B坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓M：（x-1）2+y2=9，直線l：y=x-m
（1）當直線l與圓M相切時，求m的值．
（2）當直線l與圓M相交于P，Q兩點，且|PQ|=2
7
，求直線l在y軸上的截距．
（3）當直線l與圓M相交于P，Q兩點，若在x軸上存在一點R，恰好以PQ為直徑的圓過R點，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長軸三等分，橢圓C1右焦點到右準線的距離為
2
4
，橢圓C1的下頂點為E，過坐標原點O且與坐標軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點A、B．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個交點為點P、M．
①求證：直線MP經(jīng)過一定點；
②試問：是否存在以（m，0）為圓心，
3
2
5
為半徑的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交？若存在，請求出所有m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C的方程為x2+y2=4.

(1)直線l過點P(1,2),且與圓C交于A、B兩點,若|AB|=,求直線l的方程;

(2)過圓C上一動點M作平行于x軸的直線m,設m與y軸的交點為N,若向量,求動點Q的軌跡方程,并說明此軌跡是什么曲線.

(文)(本小題共13分)已知圓C的方程為x2+y2=4.

(1)直線l過點P(1,2),且與圓C交于A、B兩點,若|AB|=,求直線l的方程;

(2)圓C上一動點M(x0,y0),=(0,y0),若向量,求動點Q的軌跡方程,并說明此軌跡是什么曲線.

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