Question

已知數(shù)列 a₁，a₂，a₃，…，a₃₀，其中a₁，a₂，a₃，…，a₁₀是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；a₁₀，a₁₁，a₁₂，…，a₂₀是公差為 d的等差數(shù)列；a₂₀，a₂₁，a₂₂，…，a₃₀是公差為 d²的等差數(shù)列（d≠0）．
（1）若 a₂₀=40，求 d；
（2）試寫出 a₃₀關(guān)于 d的關(guān)系式；
（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得 a₃₀，a₃₁，a₃₂，…，a₄₀是公差為 d³的等差數(shù)列，…，依此類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列．提出同（2）類似的問題，并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

Answer 1

分析：（1）由已知中a₁，a₂，a₃，…，a₁₀是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，a₁₀，a₁₁，a₁₂，…，a₂₀是公差為 d的等差數(shù)列；可得a₂₀的表達(dá)式（含d），進(jìn)而根據(jù)a₂₀=40，可求出 d值；
（2）根據(jù)a₂₀，a₂₁，a₂₂，…，a₃₀是公差為 d²的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₃₀關(guān)于 d的關(guān)系式；
（3）由 a₃₀，a₃₁，a₃₂，…，a₄₀是公差為 d³的等差數(shù)列，可得a₄₀的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)（1）和（2）的結(jié)論，可以歸納推斷出a10n=

10n (d=1) 10(1-dn) 1-d   (d≠1且d≠0)

．

解答：解：（1）a₁，a₂，a₃，…，a₁₀首項為1，公差為1
∴a₁₀=1+9×1=10a₁₀，a₁₁，a₁₂，…，a₂₀首項為a₁₀，公差為d
∴a₂₀=a₁₀+10d=10（1+d）
∵a₂₀=40∴10（1+d）=40∴d=3
（2）a₂₀，a₂₁，a₂₂，…，a₃₀首項為a₂₀，公差為d²
∴a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）
（3）a₃₀，a₃₁，a₃₂，…，a₄₀首項為a₃₀，公差為d³
∴a₄₀=a₃₀+10d³=10（1+d+d²+d³）
依此類推可得：a_10n=10（1+d+d²+…+d^n-1），n∈N^*
∵d≠0∴當(dāng) d=1時，a_10n=10（1+d+d²+…+d^n-1）=10n
當(dāng) d≠1時，a_10n=10（1+d+d²+…+d^n-1）=10 ×

1-dn

1-d

=

10(1-dn)

1-d

綜上得結(jié)論：a10n=

10n (d=1) 10(1-dn) 1-d   (d≠1且d≠0)

點評：本題考查的知識點是進(jìn)而簡單的合情推理，等差數(shù)列的性質(zhì)，其中分析出數(shù)列中各項值的變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．