Question

設(shè)不等式x²+px-p（p-1）≥0對(duì)任意正整數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：令f（x）=x²+px-p（p-1），分△＜0與

△≥0 - p 2 ≤1 f(1)≥0

兩種情況解得，最后取其并集即可求得實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答：解：令f（x）=x²+px-p（p-1），
①若△=p²-4×[-p（p-1）]=5p²-4p＜0，即0＜p＜

4

5

，不等式x²+px-p（p-1）≥0對(duì)任意正整數(shù)x都成立；
②若△=5p²-4p≥0，則

- p 2 ≤1 f(1)≥0

，即

△≥0 - p 2 ≤1 f(1)≥0

⇒

p≥ 4 5 或p≤0 p≥-2 1- 2 ≤p≤1+ 2

⇒1-

2

≤p≤0或

4

5

≤p≤1+

2

，
∵[1-

2

，0]∪（0，

4

5

）∪[

4

5

，1+

2

]=[1-

2

，1+

2

]．
∴實(shí)數(shù)p的取值范圍是[1-

2

，1+

2

]．
故答案為：[1-

2

，1+

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式的解法，理解題意并分△＜0與

△≥0 - p 2 ≤1 f(1)≥0

兩種情況討論解決是關(guān)鍵，屬于中檔題．