(2011•洛陽一模)過定點A(1,0)的動圓M與定圓B:(x+1)2+y2=8內切(圓心為B).
(1)求動圓圓心M的軌跡方程;
(2)設點N(0,1),是否存在直線l交M的軌跡于P,Q兩點,使得△NPQ的垂心恰為點A.若存在,求出該直線l的方程;若不存在,請說明理由.
分析:(1)設M(x,y),由題意得|MB|=2
2
-|MA|
,即|MA|+|MB|=2
2
>|AB|=2,由橢圓的定義可得:點M的軌跡是橢圓,求出即可;
(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),由A是垂心,可得kl=-
1
kNA
=1
,設直線l的方程為y=x+m,聯(lián)立
y=x+m
x2
2
+y2=1
.消去y整理得3x2+4mx+2(m2-1)=0,得到根與系數(shù)的關系.又AP⊥NQ?
AP
NQ
=0
,可得(x1-1,x1+m)•(x2,x2+m-1)=0,整理為2x1x2+(m-1)(x1+x2)+m(m-1)=0,代入即可解出m.
解答:解:(1)設M(x,y),由題意得|MB|=2
2
-|MA|
,即|MA|+|MB|=2
2
>|AB|=2,
由橢圓的定義可得:點M的軌跡是以A(1,0),B(-1,0)為焦點的橢圓,
2a=2
2
,2c=2,解得a=
2
,c=1,b2=a2-c2=1.
故動圓圓心M的軌跡方程為
x2
2
+y2=1

(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵A是垂心,∴kl=-
1
kNA
=1

設直線l的方程為y=x+m,聯(lián)立
y=x+m
x2
2
+y2=1

消去y整理得3x2+4mx+2(m2-1)=0,
x1+x2=-
4m
3
,x1x2=
2(m2-1)
3
,又AP⊥NQ,
AP
NQ
=0
,∴(x1-1,x1+m)•(x2,x2+m-1)=0,整理為2x1x2+(m-1)(x1+x2)+m(m-1)=0,
4(m2-1)
3
+(m-1)(-
4m
3
)+m(m-1)=0
,解之得m=1(舍去)或m=-
4
3

經(jīng)檢驗m=-
4
3
符合題意,故存在符合題意的直線l:y=x-
4
3
點評:本題考查了橢圓的定義及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、向量垂直與數(shù)量積得關系等基本知識與基本技能,考查了分類討論的思想方法、推理能力與計算能力..
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•洛陽一模)如圖,是一個幾何體的三視圖,側視圖和正視圖均為矩形,俯視圖為正三角形,尺寸如圖,則該幾何體的側面積(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•洛陽一模)已知A,B是非空數(shù)集,定義A+B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B}.若A={x|y=
x2-3x
},B={y|y=3x},則A+B是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•洛陽一模)下列命題中的假命題是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•洛陽一模)已知m=
2
1
lnxdx,n=
2
1
|log 
1
2
x|dx,則m,n的關系是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•洛陽一模)在(
3x
-
1
x
)6
的展開式中x的指數(shù)是整數(shù)的項共有
3
3
項.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案