Question

定義：對(duì)于任意x∈[0，1]，函數(shù)f（x）≥0恒成立，且當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時(shí)，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，則稱f（x）為G函數(shù)．已知函數(shù)g（x）=x²與h（x）=a-2^x-1是定義在[0，1]上的函數(shù)．
（1）試問函數(shù)g（x）是否為G函數(shù)？并說明理由；
（2）若函數(shù)h（x）是G函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，利用函數(shù)圖象討論方程g（2^x）+h（-2x+1）=m（m∈R）解的個(gè)數(shù)情況．

Answer 1

分析：（1）欲看函數(shù)g（x）是否為G函數(shù)，根據(jù)新定義，主要看它是否滿足兩條，利用定義進(jìn)行驗(yàn)證即可．
（2）根據(jù)新定義的G函數(shù)的定義，分別根據(jù)①②兩條性質(zhì)得出實(shí)數(shù)a的值的范圍，最后綜合即可禾
（3）根據(jù)（2）知：a=1，方程為4^x+2^-2x+1-1=m，令4^x=t  方程為t+

2

t

=m+1，作出其圖形，由圖形可得．

解答：解：（1）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，總有g(shù)（x）=x²≥0，滿足條件①對(duì)于任意x∈[0，1]，函數(shù)f（x）≥0恒成立，（1分）
當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時(shí)，
g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）²≥x

2 1

+x

2 2

=g（x₁）+g（x₂），滿足條件②當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時(shí)，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，（3分）
（2）∵h(yuǎn)（x）=a•2^x-1是G函數(shù)，∴h（x）=a•2^x-1≥0，∴a≥

1

2x

恒成立．（4分）
∴a≥1．（5分）
由g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂），得
a•2 x1+x2-1≥a•2 x1-1+a•2 x2-1，
即a[1-（2 x1-1）（2 x2-1）]≤1，（6分）
因?yàn)?nbsp;x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1
所以 2 x1-1≤1，2 x2-1≤1，x₁與x₂不同時(shí)等于1
∴0≤（2 x1-1）（2 x2-1）]＜1，
∴0＜1-（2 x1-1）（2 x2-1）≤1，
∴a≤

1

1-(2x1-1)(2x2-1)

（7分）
當(dāng)x₁=x₂=0時(shí)，

1

1-(2x1-1)(2x2-1)

的最小值=1，∴a≤1，（8分）
綜合上述a的值為1．（8分）
（3）根據(jù)（2）知：a=1，方程為4^x+2^-2x+1-1=m，（9分）
令4^x=t  方程為t+

2

t

=m+1，如圖 （10分）
由圖形可知：
當(dāng)m∈{2

2

-1}∪（2，

7

2

]時(shí)，有一解；
當(dāng)m∈（2

2

-1，2]時(shí)，有二不同解；
當(dāng)m∈（-∞，2

2

-1）∪（

7

2

，+∞）時(shí)，方程無(wú)解．（2分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．