Question

8．已知函數f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），其中（a＞0且a≠1），設h（x）=f（x）-g（x）．
（1）求h（x）的定義域；
（2）判斷h（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）若a=log₃27+log2，求使f（x）＞1成立的x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用對數函數的性質列出不等式求解函數的定義域．
（2）利用函數的奇偶性的定義判斷即可．
（3）求出a，然后利用對數函數的單調性求解不等式即可．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1．
∴h（x）=f（x）-g（x）的定義域為（-1，1）；
（2）∵對任意的x∈（-1，1），-x∈（-1，1）
h（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-h（x），
∴h（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）是奇函數；
（3）由a=log₃27+log2，得a=2．
f（x）=log_a（1+x）＞1，即log₂（1+x）＞log₂2，
∴1+x＞2，即x＞1．
故使f（x）＞1成立的x的集合為{x|x＞1}

點評 本題考查對數函數的定義域，奇偶性以及函數的單調性的應用，考查計算能力．