Question

已知函數(shù)，

（1）若函數(shù)f（x）在上的增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）a=1時(shí)，求f（x）在[,2]上最大值和最小值；

（3）a=1時(shí)，求證：對(duì)大于1的正整數(shù)n，.

Answer 1

解：（1）由已知：   

依題意得：≥0對(duì)x∈成立

∴ax-1≥0,對(duì)x∈恒成立，即a≥,對(duì)x∈恒成立，

∴a≥（）_max,即a≥1.

（2）當(dāng)a=1時(shí)，，x∈[,2]，若x∈，則，

若x∈，則，故x=1是函數(shù)f（x）在區(qū)間[,2]上唯一的極小值點(diǎn)，也就是最小值點(diǎn)，故f（x）_min=f（1）=0.

又f（）=1-ln2，f（2）=- +ln2，f（）-f（2）=-2ln2=，

∵e³>2.7³=19.683>16，

∴f（）-f（2）>0   

∴f（）>f（2）  

∴f（x）在[,2]上最大值是f（）

∴f（x）在[,2]最大1-ln2，最小0

（3）當(dāng)a=1時(shí)，由（1）知，f（x）=+lnx在

當(dāng)n>1時(shí)，令x=，則x>1     ∴f（x）>f（1）=0

即

即ln>