Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，離心率e=

2

3

，點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為左、右焦點(diǎn)，且△PF₁F₂的周長為10．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，

5

3

)，判斷以PF₁為直徑的⊙O₁與以長軸為直徑的⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）依題意：

c a = 2 3 2a+2c=10

，由此能求出橢圓C的方程．
（II）兩圓內(nèi)切，理由如下：r1=

1

2

|PF1|=

1

2

16+ 25 9

=

13

6

，|O1O|=

5

6

，圓O的半徑r₂=a=3，由|O₁O|=|r₂-r₁|，知兩圓內(nèi)切．

解答：解：（I）依題意：

c a = 2 3 2a+2c=10

，
∴a=3，c=2，b²=5，
∴橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．
（II）兩圓內(nèi)切，理由如下：
由（I）可知F₁（-2，0），
∴O1(0，

5

6

)，
r1=

1

2

|PF1|=

1

2

16+ 25 9

=

13

6

，
|O1O|=

5

6

，
圓O的半徑r₂=a=3，
∵|O₁O|=|r₂-r₁|，
∴兩圓內(nèi)切．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．