Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

3

，且a_n+1=

1

3

a_n，正項(xiàng)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意的n∈N^*，2

Sn

是b_n+2和b_n的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

1

2

a_n•b_n，且數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：

1

6

≤Tn＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列，{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由c_n=

1

2

a_n•b_n=

1

2

×(

1

3

)n×(2n-1)=（n-

1

2

）×（

1

3

）ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能證明

1

6

≤Tn＜

1

2

．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

3

，且a_n+1=

1

3

a_n，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列，
∴a_n=（

1

3

）ⁿ．
∵正項(xiàng)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意的n∈N^*，2

Sn

是b_n+2和b_n的等比中項(xiàng)，
∴4S_n=b_n（b_n+2）=bn2+2bn，①
4Sn-1=bn-12+2bn-1，②，n≥2，
①-②，得4b_n=bn2-bn-12+2b_n-2b_n-1，n≥2
∴（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1-2）=0，
∵b_n＞0，∴b_n-b_n-1=2，
又4

S1

=4

b1

=b1+2+b1，解得b₁=1，
∴{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）證明：∵c_n=

1

2

a_n•b_n=

1

2

×(

1

3

)n×(2n-1)=（n-

1

2

）×（

1

3

）ⁿ，
∴T_n=

1

2

×

1

3

+

3

2

×(

1

3

)2+

5

2

×(

1

3

)3+…+（n-

1

2

）×(

1

3

)n，①

1

3

Tn=

1

2

×(

1

3

)2+

3

2

×(

1

3

)2+

5

2

×(

1

3

)3+…+(n-

1

2

)×(

1

3

)n+1，②
①-②，得：

2

3

Tn=

1

6

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-(n-

1

2

)×(

1

3

)n+1
=

1

6

+

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-（n-

1

2

）×(

1

3

)n+1
=

1

3

-(n+1)×

1

3n+1

，
∴T_n=

1

2

-

1

2

(n+1)×

1

3n

，
∵0＜

1

2

(n+1)×

1

3n

≤

1

2

(1+1)×

1

3

=

1

3

，
∴

1

6

≤Tn＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．