【題目】已知橢圓E: (a>b>0)的左焦點F1與拋物線y2=﹣4x的焦點重合,橢圓E的離心率為 ,過點M (m,0)(m> )作斜率不為0的直線l,交橢圓E于A,B兩點,點P( ,0),且 為定值.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求△OAB面積的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)F1(﹣c,0),
∵拋物線y2=﹣4x的焦點坐標(biāo)為(﹣1,0),且橢圓E的左焦點F與拋物線y2=﹣4x的焦點重合,∴c=1,
又橢圓E的離心率為 ,得a= ,于是有b2=a2﹣c2=1.
故橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為: .
(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),直線l的方程為:x=ty+m,
由 整理得(t2+2)y2+2tmy+m2﹣2=0
,
, =
=(t2+1)y1y2+(tm﹣ t)(y1+y2)+m2﹣ = .
要使 為定值,則 ,解得m=1或m= (舍)
當(dāng)m=1時,|AB|= |y1﹣y2|= ,
點O到直線AB的距離d= ,
△OAB面積s= = .
∴當(dāng)t=0,△OAB面積的最大值為
【解析】(Ⅰ)由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標(biāo),即橢圓左焦點坐標(biāo),結(jié)合橢圓離心率可得長半軸長,再由b2=a2﹣c2求出短半軸,則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),直線l的方程為:x=ty+m,由 整理得(t2+2)y2+2tmy+m2﹣2=0由 為定值,解得m,|AB|= |y1﹣y2|= ,點O到直線AB的距離d= ,△OAB面積s= 即可求得最值
【考點精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD= ,BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,則下列結(jié)論正確的是( )
A.A′C⊥BD
B.∠BA′C=90°
C.CA′與平面A′BD所成的角為30°
D.四面體A′﹣BCD的體積為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)上年度電價為元/kWh,年用電量為kWh.本年度計劃將電價降低到0.55元/ kWh到0.75元/ kWh之間,而用戶期望電價為0.40元/ kWh.經(jīng)測算,下調(diào)電價后新增用電量與實際電價與用戶的期望電價的差成反比(比例系數(shù)為),該地區(qū)電力的成本價為0.30元/ kWh.
(1)寫出本年度電價下調(diào)后,電力部門的收益與實際電價之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)=,當(dāng)電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上一年至少增長20%?(注:收益=實際電量×(實際電價-成本價))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個命題:
①命題“若a=0,則ab=0”的否命題是“若a=0,則ab≠0”;
②已知命題p:x∈R,x2+x+1<0,則p:x∈R,x2+x+1≥0;
③若命題“p”與命題“p或q”都是真命題,則命題q一定是真命題;
④命題“若0<a<1,則loga(a+1)<lo.
其中正確命題的序號是_____.(把所有正確的命題序號都填上)
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【題目】下列四個結(jié)論:
①命題“若a=0,則ab=0”的否命題是“若a=0,則ab≠0”;
②已知命題p:x∈R,x2+6x+11<0,則p:x∈R,x2+6x+11≥0;
③若命題“p”與命題“p或q”都是真命題,則命題q一定是真命題;
④命題“若0<a<1,則loga(a+1)<log
其中正確結(jié)論的序號是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),在以原點O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,圓C的方程為ρ=6sinθ.
(Ⅰ)寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)點P(4,3),直線l與圓C相交于A,B兩點,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國南宋時期的著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》中提出了秦九韶算法來計算多項式的值,在執(zhí)行如圖算法的程序框圖時,若輸入的n=5,x=2,則輸出V的值為( )
A.15
B.31
C.63
D.127
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【題目】某教師調(diào)查了名高三學(xué)生購買的數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書的數(shù)量,將統(tǒng)計數(shù)據(jù)制成如下表格:
男生 | 女生 | 總計 | |
購買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書超過本 | |||
購買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書不超過本 | |||
總計 |
(Ⅰ)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),是否有的把握認為購買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書的數(shù)量與性別相關(guān);
(Ⅱ)從購買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書不超過本的學(xué)生中,按照性別分層抽樣抽取人,再從這人中隨機抽取人詢問購買原因,求恰有名男生被抽到的概率.
附: , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),則下列結(jié)論正確的是( )
A.當(dāng)時,函數(shù)在上有最小值;
B.當(dāng)時,函數(shù)在上有最小值;
C.對任意的實數(shù),函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱;
D.方程可能有三個實數(shù)根.
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