對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定義:設(shè)f''(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f''(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心”,且‘拐點’就是對稱中心.請你將這一發(fā)現(xiàn)作為條件.
(1).函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x的對稱中心為
(1,2)
(1,2)

(2).若函數(shù)g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
,則g(
1
2013
)+g(
2
2013
)+g(
3
2013
)+…+g(
2012
2013
)
=
2012
2012
分析:(1)根據(jù)“拐點”的定義求出f''(x)=0的根,然后代入函數(shù)解析式可求出“拐點”的坐標(biāo).
(2)先求出函數(shù)的對稱中心,利用對稱中心的性質(zhì)可得答案;
解答:解:(1)依題意,f'(x)=3x2-6x+3,
∴f''(x)=6x-6.
由f''(x)=0,即6x-6=0,解得x=1,
又 f(1)=2,
∴f(x)=x3-3x2+2x+2的“拐點”坐標(biāo)是(1,2).
∴函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x的對稱中心為(1,2);
故答案為:(1,2);
(2)∵g(x)+g(1-x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
+
1
3
(1-x)3-
1
2
(1-x)2
+3(1-x)-
5
12
+
1
1-x-
1
2
=2,
∴g(x)的圖象關(guān)于點(
1
2
,1)對稱,
∴g(
1
2013
)+g(
2
2013
)+g(
3
2013
)+…+g(
2012
2013

=[g(
1
2013
)+g(
2012
2013
)]+[g(
2
2013
)+g(
2011
2013
)]+…+[g(
1006
2013
)+g(
1007
2013
)]
=2×1006=2012,
故答案為:2012.
點評:本題在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程的交匯處命題,具有較強的預(yù)測性,而且設(shè)問的方式具有較大的開放性,情景新穎,解題的關(guān)鍵是:深刻理解函數(shù)“拐點”的定義和函數(shù)圖象的對稱中心的意義.其本質(zhì)是:任何一個三次函數(shù)都有拐點;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心;且任何一個三次函數(shù)的拐點就是它的對稱中心.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).
定義:(1)設(shè)f″(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y=f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”;
定義:(2)設(shè)x0為常數(shù),若定義在R上的函數(shù)y=f(x)對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x,都有f(x0+x)+f(x0-x)=2f(x0)成立,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(x0,f(x0))對稱.
己知f(x)=x3-3x2+2x+2,請回答下列問題:
(1)求函數(shù)f(x)的“拐點”A的坐標(biāo)
 
;
(2)檢驗函數(shù)f(x)的圖象是否關(guān)于“拐點”A對稱,對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關(guān)“拐點”的結(jié)論
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•昌平區(qū)二模)對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.給定函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
,請你根據(jù)上面探究結(jié)果,解答以下問題
(1)函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的對稱中心為
1
2
,1)
1
2
,1)

(2)計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)
+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•房山區(qū)二模)對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且拐點就是對稱中心.若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1
,則該函數(shù)的對稱中心為
(
1
2
,1)
(
1
2
,1)
,計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=
2012
2012

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•安慶三模)對于三次函數(shù)f(x)-ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)ft(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),ftt(x)是函數(shù)ft的導(dǎo)數(shù),若方程ftt(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個一元三次函數(shù)都有“拐點”;且該“拐點”也為該函數(shù)的對稱中心.若f(x)=x3-
3
2
x2+
1
2
x+1,則f(
1
2014
)+f(
2
2014
)+…+f(
2013
2014
)=( 。

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