Question

二次函數(shù)f（x）滿足f（-2）=-1，f（-1）=-1，且f（x）的最大值是8．
（1）求f（x）；
（2）求不等式f（x）＞-35x²-（108+3m）x+2m²-73（m∈R）的解集．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；
（2）通過對m分類討論即可求出一元二次不等式的解集．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵f（x）滿足f（-2）=-1，f（-1）=-1，且f（x）的最大值是8．
∴

a＜0 4a-2b+c=-1 a-b+c=-1 4ac-b2 4a =8

，解得

a=-36 b=-108 c=-73

，
∴f（x）=-36x²-108x-73．
（2）由（1）知不等式f（x）＞2m²-35x²-（108+3m）x-73（m∈R）等價于
-36x²-108x-73＞-35x²-（108+3m）x-73+2m²，
化為x²-3mx+2m²＜0，
∴（x-m）（x-2m）＜0，
當(dāng)m=0時，所求不等式的解集為空集；
當(dāng)m＞0時，所求不等式的解集為{x|m＜x＜2m}；
當(dāng)m＜0時，所求不等式的解集為{x|2m＜x＜m}．

點評：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的方法解一元二次不等式是解題的關(guān)鍵．