已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+2,其中a>0
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)求a的范圍,使得方程x3-3ax+2=0有①唯一實根   ②三個不相等的根.
分析:(1)求導,令導數(shù)等于零,解方程,根據(jù)導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關系即可求出f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)方程x3-3ax+2=0有①唯一實根,只要極大值小于零或極小值大于零即可,解此不等式即可求得結(jié)果;方程x3-3ax+2=0有②三個不相等的根,只要極大值大于零且極小值小于零即可,解此不等式組即可求得結(jié)果.
解答:解:(1)f′(x)=3x2-3a,由f′(x)=0得x=±
a

x (-∞,-
a
-
a
-
a
,
a
a
a
,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
∴f(x)的遞增區(qū)間(-∞,-
a
),(
a
,+∞)遞減區(qū)間為(-
a
,
a
),
f極大值=f(-
a
)=2a
a
+2,f極小值=f(
a
)=-2a
a
+2;
(2)①要使方程有唯一實根,應有2a
a
+2<0或-2a
a
+2>0
解得0<a<1 即當a∈(0,1)方程有唯一的實根
②當方程有三個不相等的根時應有-2a
a
+2<0<2a
a
+2,
解得a>1,即當a∈(1,+∞)時方程有三個不相等的實根.
點評:本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的應用、解不等式等基礎知識,以及推理能力、運算能力和綜合應用數(shù)學知識的能力,屬中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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