Question

1．已知直線（2m+1）x+（1-m）y-3（1+m）=0，m∈$（-\frac{1}{2}，1）$與兩坐標軸分別交于A、B兩點．當△OAB的面積取最小值時（O為坐標原點），則m的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $-\frac{1}{3}$
• C． $-\frac{1}{5}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 由直線（2m+1）x+（1-m）y-3（1+m）=0，m∈$（-\frac{1}{2}，1）$，可得A$（\frac{3（1+m）}{2m+1}，0）$，B$（0，\frac{3（1+m）}{1-m}）$．利用三角形面積計算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由直線（2m+1）x+（1-m）y-3（1+m）=0，m∈$（-\frac{1}{2}，1）$，
可得A$（\frac{3（1+m）}{2m+1}，0）$，B$（0，\frac{3（1+m）}{1-m}）$．
∴當△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3（1+m）}{2m+1}$×$\frac{3（1+m）}{1-m}$=$\frac{9}{2}$×$\frac{1+2m+{m}^{2}}{-2{m}^{2}+m+1}$，
令1+m=t∈$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$，∴S=$\frac{9}{2}$×$\frac{{t}^{2}}{-2{t}^{2}+5t-2}$=$\frac{9}{2}$×$\frac{1}{-2（\frac{1}{t}-\frac{5}{4}）^{2}+\frac{9}{8}}$，
∴當t=$\frac{4}{5}$，即m=-$\frac{1}{5}$時，S取得最小值．
故選：C．

點評 本題考查了直線的交點、三角形面積計算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、反比例函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．