Question

8．設P是雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$上的動點，若P到兩條漸近線的距離分別為d₁，d₂，則d₁•d₂=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 先確定兩條漸近線方程，設雙曲線C上的點P（x，y），求出點P到兩條漸近線的距離，結合P在雙曲線C上，即可求d₁•d₂的值．

解答 解：由條件可知：兩條漸近線分別為x±$\sqrt{2}$y=0
設雙曲線C上的點P（x，y），
則點P到兩條漸近線的距離分別為d₁=$\frac{|x+\sqrt{2}y|}{\sqrt{3}}$，d₂=$\frac{|x-\sqrt{2}y|}{\sqrt{3}}$
所以d₁•d₂=$\frac{|x+\sqrt{2}y|}{\sqrt{3}}$•$\frac{|x-\sqrt{2}y|}{\sqrt{3}}$=$\frac{{|x}^{2}-2{y}^{2}|}{3}$=$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的幾何性質，求出點P到兩條漸近線的距離是關鍵，屬于中檔題．