Question

14．若曲線C₁、C₂上存在互相平行的切線，則稱C₁與C₂為“關聯(lián)曲線”．則下列四組曲線：①y=$\frac{1}{x}$與y=lnx；②y=x²與y=$\sqrt{x}$；③y=sinx與y=e^x；④y=e^x與y=lnx．其中“關聯(lián)曲線”的組數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由“關聯(lián)曲線”的定義可得兩曲線上存在切線的斜率相等的直線，則分別對函數(shù)求導，考慮導數(shù)的圖象有沒有交點，即可判斷．

解答 解：對于①，y=$\frac{1}{x}$的導數(shù)為y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，y=lnx的導數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$＞0，
則兩曲線上的切線的斜率不相等，則不為“關聯(lián)曲線”；
對于②，y=x²的導數(shù)為y′=2x，y=$\sqrt{x}$的導數(shù)為y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
函數(shù)f（x）=2x和函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$的圖象有交點，則為“關聯(lián)曲線”；
對于③，y=sinx的導數(shù)為y′=cosx，y=e^x的導數(shù)為y′=e^x，
由余弦函數(shù)的圖象和指數(shù)函數(shù)的圖象有交點，可得為“關聯(lián)曲線”；
對于④，y=lnx的導數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$＞0，y=e^x的導數(shù)為y′=e^x，
由函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象與函數(shù)y=e^x的圖象有交點，可得為“關聯(lián)曲線”．
則其中“關聯(lián)曲線”的組數(shù)為3．
故選D．

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義，同時考查新定義的理解和運用，以及函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題．