Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_l=1，a_n+1=a（1+

1

n

）a_n（a∈R且a≠0）．
（1）若b_n=

an

n

，求數(shù)列{b_n}，{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{an）的前n項和|Sn．
（3）當a=1/3時，若存在n∈N*使sn＜c成立，求c的范圍．

Answer 1

分析：（1）將a_n+1=a（1+

1

n

）a_n變形得

an+1

n+1

=a•

an

n

，構造出等比數(shù)列{b_n}的遞推關系式，再去求{b_n}，{a_n}的通項公式
（2）由（1）得出a_n=n•a ^n-1，可用錯位相消法求Sn．^_．
（3）若存在n∈N*使sn＜c成立，只需c大于sn的最小值即可，轉化成求sn的最小值．

解答：解：（1）a_n+1=a（1+

1

n

）a_n，得

an+1

n+1

=a•

an

n

，又b_n=

an

n

，
∴b_n+1=a•b_n
∴數(shù)列{bn}是首項b1=1，公比為a的等比數(shù)列
∴bn=a ^n-1，a_n=n•a^n-1
（2）
當a=1時Sn=1+2+3+…+n=

n2+n

2

當a≠1時Sn=a⁰+2a¹+3a²+…+na^n-1①
aSn=a¹+2a²+3a³+…+naⁿ②
①-②得
（1-a）Sn=a⁰+a¹+a²+…a^n-1-naⁿ=

1-an

1-a

-nan
Sn=

1-an

(1-a)2

-

nan

1-a

=

nan+1-(n+1)an+1

(1-a)2

綜上Sn=

n2+n 2         a=1 nan+1-(n+1)an+1 (1-a)2     a≠1

當a=

1

3

時，Sn=

n( 1 3 )n+1-(n+1)( 1 3 )n+1

(1- 1 3 )2

=

9

4

•(

1

3

)n+1• (-2n-3)+

9

4

Sn+1-Sn=

9

4

•(

1

3

)n+2•[ -2(n+1)-3]+

9

4

-

9

4

•(

1

3

)n+1• (-2n-3)-

9

4

=

9

4

•(

1

3

)n+2 •(4n+4)＞0
∴{Sn}是遞增數(shù)列，當n=1時Sn有最小值S₁=1
故c＞1．

點評：本題考查疊加法求通項，錯位相消法求和，數(shù)列的函數(shù)性質、考查變形轉化能力、計算能力，分類討論思想方法．