已知數(shù)列{an}中,al=1,an+1=a(1+
1
n
)an(a∈R且a≠0).
(1)若bn=
an
n
,求數(shù)列{bn},{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{an)的前n項和|Sn.
(3)當a=1/3時,若存在n∈N*使sn<c成立,求c的范圍.
分析:(1)將an+1=a(1+
1
n
)an變形得
an+1
n+1
=a•
an
n
,構造出等比數(shù)列{bn}的遞推關系式,再去求{bn},{an}的通項公式
(2)由(1)得出an=n•a n-1,可用錯位相消法求Sn.
(3)若存在n∈N*使sn<c成立,只需c大于sn的最小值即可,轉化成求sn的最小值.
解答:解:(1)an+1=a(1+
1
n
)an,得
an+1
n+1
=a•
an
n
,又bn=
an
n
,
∴bn+1=a•bn
∴數(shù)列{bn}是首項b1=1,公比為a的等比數(shù)列
∴bn=a n-1,an=n•an-1
(2)
當a=1時Sn=1+2+3+…+n=
n2+n
2

當a≠1時Sn=a0+2a1+3a2+…+nan-1
aSn=a1+2a2+3a3+…+nan
①-②得
(1-a)Sn=a0+a1+a2+…an-1-nan=
1-an
1-a
-nan

Sn=
1-an
(1-a)2
-
nan
1-a
=
nan+1-(n+1)an+1
(1-a)2

綜上Sn=
n2+n
2
        a=1
nan+1-(n+1)an+1
(1-a)2
    a≠1


當a=
1
3
時,Sn=
n(
1
3
)
n+1
-(n+1)(
1
3
)
n
+1
(1-
1
3
)
2
=
9
4
(
1
3
)
n+1
• (-2n-3)+
9
4

Sn+1-Sn=
9
4
(
1
3
)
n+2
•[ -2(n+1)-3]+
9
4
-
9
4
(
1
3
)
n+1
• (-2n-3)-
9
4

=
9
4
(
1
3
)
n+2
 •(4n+4)
>0
∴{Sn}是遞增數(shù)列,當n=1時Sn有最小值S1=1
故c>1.
點評:本題考查疊加法求通項,錯位相消法求和,數(shù)列的函數(shù)性質、考查變形轉化能力、計算能力,分類討論思想方法.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
Sn
為數(shù)列的前n項和,且Sn
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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