Question

已知橢圓+=1（a＞）的離心率為，雙曲線C與該橢圓有相同的焦點(diǎn)，其兩條漸近線與以點(diǎn)（0，）為圓心，1為半徑的圓相切．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出雙曲線C的焦點(diǎn)為F₁和F₂，由已知==求得a和c，設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，根據(jù)圓心到直線的距離為1求得k，進(jìn)而的雙曲線的漸近線方程，判斷出雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)相等，設(shè)為a₁，進(jìn)而根據(jù)2a₁²=c²=2，求得a₁，雙曲線方程可得．
（2）直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)判別式及題設(shè)條件求得m的范圍，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得AB的中點(diǎn)，令x=0，得（-2m²+m+2）b=2，進(jìn)而根據(jù)m的范圍求得b的范圍．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），c＞0．
由已知==，
得a=2，c=，
設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，
依題意，=1，解得k=±1．
∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．
故雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)相等，設(shè)為a₁，
則2a₁²=c²=2，得a₁²=1．
∴雙曲線C的方程為x²-y²=1．
（2）由得（1-m²）x²-2mx-2=0，
∴直線與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，
∴解得1＜m＜．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=，
y₁+y₂=m（x₁+x₂）+2=，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得AB的中點(diǎn)為（，），
∴直線l的方程為x=（-2m²+m+2）y-2，
令x=0，得（-2m²+m+2）b=2，
∵m∈（1，），b的值存在，∴-2m²+m+2≠0，
∴b==
而-2（m-）²+∈（-2+，0）∪（0，1），
∴故b的取值范圍是（-∞，-2-）∪（2，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等，平時(shí)應(yīng)注意積累．