已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,
2
5
5
)
,N(-2,
5
5
)
,若圓C的圓心與橢圓的右焦點(diǎn)重合,圓的半徑恰好等于橢圓的短半軸長(zhǎng),已知點(diǎn)A(x,y)為圓C上的一點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求
AC
AO
+2|
AC
-
AO
|
(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
分析:(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2+ny2=1,依題意可得
m+
4
5
n=1
4m+
1
5
n=1
,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)由圓心C(1,2),知x2+y2=4x-3,所以
AC
AO
+2|
AC
-
AO
|=2x+1
,而(x-2)2+y2=1,則1≤x≤3,由此能求出
AC
AO
+2|
AC
-
AO
|
的取值范圍.
(3)x2+y2表示圓上點(diǎn)P(x,y)與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的平方,因?yàn)樵c(diǎn)O到圓心C(2,0)的距離為2,圓的半徑為1,由此能求出x2+y2的最大值和最小值.
解答:解:(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2+ny2=1,依題意可得
m+
4
5
n=1
4m+
1
5
n=1
,可得m=
1
5
,n=1

所以,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
5
+y2=1
.(3分)
因?yàn)閳A的圓心C和橢圓的右焦點(diǎn)重合,圓的半徑恰為橢圓的短半軸長(zhǎng),
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=1.(5分)
(2)由(1)得圓心C(1,2),所以,而x2+y2-4x+3=0,則x^+y2=4x-3,
所以
AC
AO
+2|
AC
-
AO
|=2x+1
,(7分)
而(x-2)2+y2=1,則(x-2)2≤1,即-1≤x-2≤1,即1≤x≤3,
因此,從而
AC
AO
+2|
AC
-
AO
|
(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍為[3,7].(10分)
(3)x2+y2表示圓上點(diǎn)P(x,y)與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的平方,因?yàn)樵c(diǎn)O到圓心C(2,0)的距離為2,
圓的半徑為1,所以P(x,y)與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的最小值為2-1=1,
與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的最大值為2+1=3,故x2+y2的最大值為9,最小值1.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線(xiàn)與橢圓的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,短軸長(zhǎng)為2,且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn).過(guò)右焦點(diǎn)F與x軸不垂直的直線(xiàn)l交橢圓于P,Q兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為1時(shí),求△POQ的面積;
(3)在線(xiàn)段OF上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓上點(diǎn)P(3
2
,4)
到兩焦點(diǎn)的距離之和是12,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
 

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已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,焦距為6
3
,且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓的方程為
x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
2
2
,坐標(biāo)原點(diǎn)O到過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線(xiàn)的距離為
2
2

(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線(xiàn)l交橢圓于P、Q兩點(diǎn),在線(xiàn)段OF上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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