Question

已知-1≤a≤1，解關于x的不等式：ax²-2x+a＞0．

Answer 1

分析：針對a的值，分類討論①當a=0時，②當a=-1時，③當-1＜a＜0時，④當0＜a＜1時，⑤當a=1時，最后綜合可得．

解答：解：①當a=0時，原式化為-2x＞0，即x＜0；a≠0時，△=（-2）²-4a²=4（1+a）（1-a）…（1分）
②當a=-1時，△=0，原式化為-（x+1）²＞0，即 （x+1）²＜0，∴x∈∅…（2分）
③當-1＜a＜0時，△＞0，方程ax²-2x+a＞0的根為x_1、2=

2± 4(1-a2)

2a

=

1± (1-a2)

a

，
∴

1+ (1-a2)

a

＜x＜

1- (1-a2)

a

…（6分）
④當0＜a＜1時，結合③知，x＜

1- (1-a2)

a

或x＞

1+ (1-a2)

a

…（10分）
⑤當a=1時，原式化為x²-2x+1＞0，即（x-1）²＞0，∴x∈R，且x≠1…（11分）
總之，原不等式的解集為：當a=-1時，x∈∅；當-1＜a＜0時，x∈（

1+ (1-a2)

a

，

1- (1-a2)

a

）；
當a=0時，x∈（-∞，0）；當0＜a＜1時，x∈（-∞，

1- (1-a2)

a

）∪（

1+ (1-a2)

a

，+∞）；
當a=1時，{x|x∈R，且x≠1}…（12分）

點評：本題考查含參數(shù)的不等式的解法，熟練的分類討論是解決問題的關鍵，屬中檔題．