Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD一A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AD=3，E為CD中點(diǎn)，三棱 錐A₁-AB₁E的體積是6．
（1）設(shè)P是棱BB₁的中點(diǎn)，證明：CP∥平面AEB₁；
（2）求AB的長(zhǎng)；
（3）求二面角B-AB₁-E的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)镻是棱BB₁的中點(diǎn)，可想到取AB₁的中點(diǎn)M，由三角形中位線(xiàn)知識(shí)證明四邊形PCEM是平行四邊形，由此可得
PC∥EM，然后利用線(xiàn)面平行的判定即可得到結(jié)論；
（2）題目給出了三棱錐A₁-AB₁E的體積是6，借助于等積法可求AB的長(zhǎng)度；
（3）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面法向量所成角的余弦值求二面角的余弦值．
解答：（1）證明：取AB₁的中點(diǎn)M，連結(jié)PM，ME．
則PM∥BA∥CE，．
即四邊形PCEM是平行四邊形，所以PC∥EM．
又EM?平面AEB₁，PC?平面AEB₁．
∴CP∥平面AEB₁；
（2）解：由題意．
點(diǎn)E到平面AB₁A₁的距離是AD=3，．
所以，即AB=6；

（3）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AA₁所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
則A（0，0，0），B₁（6，0，2），E（3，3，0），
．
設(shè)平面AB₁E的法向量為．
由，得，取x=1，得y=-1，z=-3．
所以．
由平面ABB₁的一個(gè)法向量為．
并設(shè)二面角B-AB₁-E的大小為α，
則cosα===．
所以二面角B-AB₁-E的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了線(xiàn)面平行的判定，關(guān)鍵是尋求定理成立的條件，常借助于三角形的中位線(xiàn)處理．訓(xùn)練了等積法求點(diǎn)到面的距離或線(xiàn)段的長(zhǎng)度，考查了利用平面法向量求二面角的余弦值，是中檔題．