Question

（2010•江蘇模擬）f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對(duì)任何實(shí)數(shù)α∈（0，1）以及D中的任意兩數(shù)x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f₁（x）=x²，f2(x)=

1

x

(x＜0)中哪些是各自定義域上的C函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)a_n=f（n），n=0，1，2，…，m，且a₀=0，a_m=2m，記S_f=a₁+a₂+…+a_m．對(duì)于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求S_f的最大值．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于函數(shù)f₁（x）=x²利用C函數(shù)的定義，對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，x₂及α∈（0，1），f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=-α（1-α）（x₁-x₂）²≤0；對(duì)于函數(shù)f2(x)=

1

x

(x＜0)，可取x₁=-3，x₂=-1，α=

1

2

⇒f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=

1

6

＞0⇒f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函數(shù)；
（2）對(duì)任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]，利用C函數(shù)的概念求得a_n=2n，從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和
問(wèn)題．

解答：解：（Ⅰ）f₁（x）=x²是C函數(shù)，證明如下：
對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，x₂及α∈（0，1），
有f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=（αx₁+（1-α）x₂）²-αx₁²-（1-α）x₂²=-α（1-α）x₁²-α（1-α）x₂²+2α（1-α）x₁x₂=-α（1-α）（x₁-x₂）²≤0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f₁（x）=x²是C函數(shù)．
f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函數(shù)，證明如下：
取x₁=-3，x₂=-1，α=

1

2

，
則f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=f(-2)-

1

2

f(-3)-

1

2

f(-1)=-

1

2

+

1

6

+

1

2

＞0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）＞αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函數(shù)．
（Ⅱ） 對(duì)任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]，
∵f（x）是R上的C函數(shù)，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m，
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=

n

m

×2m=2n；
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可證f（x）=2x是C函數(shù)，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此時(shí)S_f=m²+m．
綜上所述，S_f的最大值為m²+m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的概念與最值及數(shù)列的求和，難點(diǎn)在于（1）中f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函數(shù)的判斷（特值排除法）及（2）中S_f的最大值的求法，通過(guò)對(duì)C函數(shù)的理解轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和問(wèn)題，屬于難題．