Question

已知橢圓 過定點A（1，0），且焦點在x軸上，橢圓與曲線|y|=x的交點為B、C．現(xiàn)有以A為焦點，過B，C且開口向左的拋物線，其頂點坐標為M（m，0），當橢圓的離心率滿足 時，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由橢圓過定點A（1，0），知，，由，知．由對稱性知，所求拋物線只要過橢圓與射線y=x（x≥0）的交點，就必過橢圓與射線y=-x（x≥0）的交點．由此能求出實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：∵橢圓 過定點A（1，0），
∴，，
∵，∴，
∴．
由對稱性知，所求拋物線只要過橢圓與射線y=x（x≥0）的交點，就必過橢圓與射線y=-x（x≥0）的交點．
聯(lián)立方程 ，
解得 ．
∵，
∴．
設(shè)拋物線方程為：y²=-2p（x-m），p＞0，m＞1．
∵，
∴y²=（1-m）（x-m）①
把 y=x，代入①，
得x²+4（m-1）x-4m（m-1）=0，m＞1．
令f（x）=x²+4（m-1）x-4m（m-1），m＞1，
∵f（x）在內(nèi)有根且單調(diào)遞增，
∴
即
綜上得實數(shù)m的取值范圍：{m|}．
點評：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．