Question

函數(shù)y=log_a（x+4）-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則

1

m

+

1

n

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由堆屬性函數(shù)的圖象過定點求得A的坐標(biāo)，代入直線方程得到3m+2n=1，由

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）（3m+2n）展開后利用基本不等式求最小值．

解答：解：∵y=log_ax（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（1，0），
∴函數(shù)y=log_a（x+4）-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A（-3，-2），
又點A在直線mx+ny+1=0上，
∴-3m-2n=-1，3m+2n=1．
∵mn＞0，且3m+2n=1，
∴m＞0，n＞0．
∴

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）（3m+2n）=3+2+

2n

m

+

3m

n

≥5+2

2n m • 3m n

=5+2

6

．
當(dāng)且僅當(dāng)

3m+2n=1 3m2=2n2

，
即m=1-

6

3

，n=

6

2

-1時取“=”．
故答案為：5+2

6

．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，訓(xùn)練了利用基本不等式求函數(shù)的最小值，考查了“1”的靈活代換，是中檔題．