Question

對于非空實數(shù)集A，記A^*={y|?x∈A，y≥x}．設(shè)非空實數(shù)集合M⊆P，若m＞1時，則m∉P． 現(xiàn)給出以下命題：
①對于任意給定符合題設(shè)條件的集合M、P，必有P^*⊆M^*；
②對于任意給定符合題設(shè)條件的集合M、P，必有M^*∩P≠∅；
③對于任意給定符合題設(shè)條件的集合M、P，必有M∩P^*=∅；
④對于任意給定符合題設(shè)條件的集合M、P，必存在常數(shù)a，使得對任意的b∈M^*，恒有a+b∈P^*；
其中正確的命題是______（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

由A*={y|?x∈A，y≥x}．可知：數(shù)集A^*是數(shù)集A的所有上界組成的集合．
①分別用A_max、A_min表示集合A的所有元素（數(shù)）的最大值、最小值．
由M⊆P及A^*的定義可知：M_max≤

M

*min

，P_max≤

P

*min

，

M

*min

≤P_max，∴

M

*min

≤

P

*min

，∴必有P^*⊆M^*．故①正確．
②若設(shè)M=（-∞，1）=P，滿足M⊆P，而M^*=[1，+∞），此時M^*∩P=∅，故②不正確．
③若設(shè)M=（-∞，1]=P，滿足M⊆P，而P^*=[1，+∞），此時M∩P^*={1}≠∅．
④由①可知：對于M⊆P，必有P*⊆M*；取a=

P

*min

-

M

*min

，則對于任意的b∈M*，必恒有a+b∈P^*．
故正確命題是①④．