Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），當(dāng)點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q（x-2a，-y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的點(diǎn)．
（1）寫出函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）若當(dāng)x∈[a+2，a+3]時(shí)，恒有|f（x）-g（x）|≤1，試確定a的取值范圍；
（3）把y=g（x）的圖象向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=h（x）的圖象，函數(shù)F（x）=2a^1-h（x）-a^2-2h（x）+a^-h（x），（a＞0，且a≠1）在的最大值為，求a的值．

Answer 1

（本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x'，y'），則x'=x-2a，y'=-y，即x=x'+2a，y=-y'．
∵點(diǎn)P（x，y）在函數(shù)y=log_a（x-3a）圖象上
∴-y'=log_a（x'+2a-3a），即
∴
（2）由題意x∈[a+2，a+3]，則x-3a=（a+2）-3a=-2a+2＞0，．
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，
∵|f（x）-g（x）|≤1∴，r（x）=x²-4ax+3a²對稱軸為x=2a
∵0＜a＜1∴a+2＞2a，則r（x）=x²-4ax+3a²在[a+2，a+3]上為增函數(shù)，
∴函數(shù)在[a+2，a+3]上為減函數(shù)，
從而[u（x）]_max=u（a+2）=log_a（4-4a）．
[u（x）]_min=u（a+3）=log_a（9-6a），

∴
（3）由（1）知，而把y=g（x）的圖象向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=h（x）的圖象，則，
∴，
即F（x）=-a²x²+（2a+1）x，又a＞0，且a≠1，F(xiàn)（x）的對稱軸為，又在的最大值為，
①令；此時(shí)F（x）在上遞減，∴F（x）的最大值為，此時(shí)無解；
②令，又a＞0，且a≠1，∴；此時(shí)F（x）在上遞增，∴F（x）的最大值為，又，∴無解；
③令且a＞0，且a≠1
∴，此時(shí)F（x）的最大值為，
解得：，又，∴；
綜上，a的值為．
分析：（1）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x'，y'），利用x'=x-2a，y'=-y，轉(zhuǎn)化x=x'+2a，y=-y'．通過點(diǎn)P（x，y）在函數(shù)y=log_a（x-3a）圖象上，代入即可得到函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）通過x∈[a+2，a+3]，求出|f（x）-g（x）|的最大值，利用最大值≤1，即可確定a的取值范圍；
（3）利用把y=g（x）的圖象向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=h（x）的圖象，求出h（x）的解析式，通過函數(shù)F（x）=2a^1-h（x）-a^2-2h（x）+a^-h（x），（a＞0，且a≠1）求出F（x）的不等式，通過二次函數(shù)在的最大值為，求a的值．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，坐標(biāo)變換，函數(shù)的最值的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題的求解，綜合知識點(diǎn)多，難度較大．