Question

已知曲線y=ln

1

3x-a

過點M（1，b），且在點M處的切線與直線x-3y-2=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）求曲線在點M處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求a，b的值；
（2）求曲線在點M處的切線，以及兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)即可求三角形的面積．

解答： 解：（1）直線x-3y-2=0的斜率k=

1

3

，則切線斜率k=-3，
即函數(shù)的f′（1）=-3，
∵y=ln

1

3x-a

，
∴函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3（3x-a）•(-

1

(3x-a)2

)=-

3

3x-a

即f′（1）=-

3

3-a

=-3，解得a=2，
即函數(shù)為f（x）=ln

1

3x-2

，則b=ln1=0，
即a=2，b=0；
（2）∵b=0，∴M（1，0），
則曲線在點M處的切線為y=-3（x-1），
當(dāng)x=0，解得y=3，
當(dāng)y=0，解得x=1，
則切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=

1

2

×1×3=

3

2

．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．