Question

已知函數(shù)．

（1）當且，時，試用含的式子表示，并討論的單調區(qū)間；

（2）若有零點，，且對函數(shù)定義域內一切滿足的實數(shù)有．

①求的表達式；

②當時，求函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點坐標．

 

Answer 1

（1）時，的單調增區(qū)間是，，單調減區(qū)間是；時，的單調增區(qū)間，，單調減區(qū)間為；

（2）①；②.

【解析】

試題分析：（1）先求出導函數(shù)，進而由，于是，針對分、兩種情況，分別求出、的解即可確定函數(shù)的單調區(qū)間；（2）①先由條件得到的一個不等關系式，再由有零點，且對函數(shù)定義域內一切滿足的實數(shù)有，作出判斷的零點在內，設，則可得條件即，結合即可確定的取值，進而可寫出的解析式；②設，先通過函數(shù)的導數(shù)確定函數(shù)在的單調性，進而求出在的零點，進而即可求出與的圖像在區(qū)間上的交點坐標.

（1） 2分

由，故

時，由得的單調增區(qū)間是，

由得單調減區(qū)間是

同理時，的單調增區(qū)間，，單調減區(qū)間為 5分

（2）①由（1）及（i）

又由有知的零點在內，設，

則即

所以由條件

此時有 8分

∴ 9分

②又設，先求與軸在的交點

∵，由得

故，在單調遞增

又，故與軸有唯一交點

即與的圖象在區(qū)間上的唯一交點坐標為為所求 13分.

考點：1.分類討論的思想；2.函數(shù)的導數(shù)與單調性；3.二次函數(shù)的圖像與性質；4.兩函數(shù)圖像的交點問題.