Question

已知M（2，1），N（-1，2），在下列方程的曲線上，存在點P滿足|MP|=|NP|的曲線是（　�。�

A．3x-y+1=0	B．x2+y2-4x+3=0
C． x2 2 +y2=1	D． x2 2 -y2=1

Answer 1

連接MN，設(shè)MN的方程為y=kx+b，傾斜角為α
代入M，N的坐標(biāo)，有
2k+b=1
-k+b=2
解得k=-

1

3

，b=

5

3

即tanα=

sinα

cosα

=-

1

3

MN的方程為y=-

x

3

+

5

3

，x∈[-1，2]
設(shè)MN的中點坐標(biāo)為Q（a，-

a

3

+

5

3

）
有|QM|²=|QN|²
（a-2）²+（-

a

3

+

5

3

-1）²=[a-（-1）]²+（-

a

3

+

5

3

-2）²
解得a=

1

2

得Q（

1

2

，

3

2

）
與MN垂直的直線斜率為
tan（

π

2

+α）=

sin( π 2 +α)

cos( π 2 +α)

=-

cosα

sinα

=3
設(shè)MN垂直平分線的方程為y=3x+c
代入Q（

1

2

，

3

2

），得
3×

1

2

+c=

3

2

得c=0
MN垂直平分線的方程為y=3x
可知y=3x上的點到M的距離與到N的距離相等，則點P在y=3x上，同時又在A，B，C，D中的一個曲線上，即兩個圖象有交點
A.3x-y+1=0
即y=3x+1
3x+1=3x不成立，兩個圖象無交點
B．y=3x代入x²+y²-4x+3=0，得
10x²-4x+3=0
判別式△=（-4）²-4×10×3=-104＜0
兩個圖象無交點
C．y=3x代入

x2

2

+y2=1，得

x2

2

+(3x)2=1，解得x=±

2 19

19

3*（±2√19/19）═±6√19/19
得P（

2 19

19

，

6 19

19

）或（-

2 19

19

，-

6 19

19

）
D．y=3x代入

x2

2

-y2=1，得

17x2

2

+1═0
判別式△=0²-4×（17/2）×1=-34＜0
兩個圖象無交點
只有C選項正確
故選C