Question

已知函數(shù)是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，其中a、b∈R且
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；
（3）解關(guān)于t的不等式f（t-1）+f（t²）＜0．

Answer 1

解：：（1）∵為奇函數(shù)，且 f（）==，
∴f（-）==-f（）=-，解得：a=1，b=0．
∴f（x）=．
（2）證明：在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）==；
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）∵f（t-1）+f（t²）＜0
∴f（t²）＜-f（t-1）=f（1-t）
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)
∴
∴0＜t＜
故關(guān)于t的不等式的解集為 （0，）．
分析：（1）利用函數(shù) 為奇函數(shù)，且 f（）=，可得 f（-）=-f（）=-，從而得到關(guān)于a、b的方程組，解之即可；
（2）直接利用單調(diào)性的定義即可證明；
（3）利用f（x）為奇函數(shù)，將不等式f（t-1）+f（t）＜0轉(zhuǎn)化為f（t）＜-f（t-1）=f（1-t），再利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)得到關(guān)于t的不等式 組，解之即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)應(yīng)用，著重考查學(xué)生理解函數(shù)奇偶性與用定義證明單調(diào)性及解方程，解不等式組的能力，屬于中檔題．